はじめに

直交（orthogonality） とは、線形代数において2 つのベクトルが直角（90 度）に交わる関係を指します。

数学的には、ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が直交するとは、

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$$

が成り立つことを意味します。
ここで、$\cdot$ は ドット積（内積） を表します。

本記事では、

• 直交の数学的定義
• 具体例と直交ベクトルの性質
• Python での直交性の確認
  を詳しく解説します。

1. 直交の数学的定義

2 つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積は次の式で定義されます：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = | \mathbf{a} | | \mathbf{b} | \cos\theta$$

ここで、

• $| \mathbf{a} |$ は ベクトル $\mathbf{a}$ の大きさ（ノルム）
• $| \mathbf{b} |$ は ベクトル $\mathbf{b}$ の大きさ（ノルム）
• $\theta$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角

もし $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ ならば、

$$\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ$$

よって、2 つのベクトルは直交している ことになります。

2. 直交の具体例

(1) 2 次元空間での直交ベクトル

次の 2 つのベクトルを考えます：

$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

内積を計算すると、

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \times -2) + (2 \times 1) = -2 + 2 = 0$$

したがって、この 2 つのベクトルは直交しています。

(2) 3 次元空間での直交ベクトル

次のベクトルを考えます：

$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

内積を計算すると、

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \times 0) + (0 \times 1) + (-1 \times 0) = 0$$

したがって、この 2 つのベクトルも直交しています。

3. 直交ベクトルの性質

✅ 直交ベクトルは線形独立
直交するベクトルは、互いに線形独立であるため、ベクトル空間の基底としてよく使われます。

✅ 直交行列（orthogonal matrix）
行列の列ベクトルがすべて直交している場合、その行列を 直交行列 と呼びます。

✅ 正規直交（orthonormal）
直交するベクトルが 単位ベクトル（長さ 1） なら、それらは 正規直交 であるといいます。

✅ 直交補空間（orthogonal complement）
あるベクトル空間に対して、その空間と直交するベクトル全体の集合を 直交補空間 といいます。

4. Python で直交を確認する

(1) 2D ベクトルの直交性チェック

PYTHON
import numpy as np

# 2つのベクトル
a = np.array([1, 2])
b = np.array([-2, 1])

# 内積を計算
dot_product = np.dot(a, b)

print("ベクトル a:", a)
print("ベクトル b:", b)
print("内積:", dot_product)

# 直交しているか確認
if dot_product == 0:
    print("ベクトル a と b は直交しています！")
else:
    print("ベクトル a と b は直交していません。")

出力結果

ベクトル a: [1 2]
ベクトル b: [-2  1]
内積: 0
ベクトル a と b は直交しています！

5. まとめ

• ✅ 直交とは、2 つのベクトルが直角（90 度）の関係にあること
• ✅ ベクトルの内積が 0 なら直交する（$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$）
• ✅ 直交ベクトルは線形独立であり、基底としてよく使われる
• ✅ Python で簡単に直交性を確認できる

直交の概念は、線形代数・データ分析・機械学習・コンピュータグラフィックス など、多くの分野で活用されます。