1. はじめに

ポートフォリオ最適化では、リターンを最大化しつつリスクを最小化することが目的です。
前回の記事では、共分散と相関係数について学びました。
本記事では、それを活用してポートフォリオ全体のリスク（標準偏差）をどのように計算するのかを詳しく解説します。

2. ポートフォリオのリスクとは？

ポートフォリオのリスク（分散 $\sigma_p^2$）は、各資産の分散と資産間の共分散の両方を考慮して計算されます。

(1) ポートフォリオの分散の公式

ポートフォリオの分散 $\sigma_p^2$ は、次の式で表されます。

$$\sigma_p^2 = \sum_{i} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i} \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_{i,j}$$

• $\sigma_p^2$ ：ポートフォリオ全体の分散
• $\sigma_i^2$ ：資産 $i$ の分散（個々のリスク）
• $\sigma_{i,j}$ ：資産 $i$ と $j$ の共分散
• $w_i, w_j$ ：各資産の投資比率

この式は、

1. 各資産の分散の影響（第一項）
2. 資産間の共分散の影響（第二項）
   の 2 つを合計してポートフォリオ全体のリスクを計算しています。

(2) ポートフォリオの標準偏差

ポートフォリオの標準偏差（$\sigma_p$）は、分散の平方根で求められます。

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_p^2}$$

標準偏差が小さいほど、ポートフォリオのリスクが低いことを意味します。

3. 具体例：2 資産ポートフォリオのリスク計算

(1) データ設定

資産 A と資産 B の過去のリターンデータを使って、ポートフォリオのリスクを計算してみましょう。

(2) ポートフォリオの分散を計算

まず、各値を公式に代入します。

$$\sigma_p^2 = (0.5)^2 \times 0.01 + (0.5)^2 \times 0.0225 + 2 \times (0.5) \times (0.5) \times 0.008$$ $$= 0.0025 + 0.005625 + 0.004$$ $$= 0.012125$$

(3) ポートフォリオの標準偏差を計算

$$\sigma_p = \sqrt{0.012125} = 0.11 = 11\%$$

したがって、このポートフォリオのリスク（標準偏差）は 11% となります。

4. 共分散行列を使ったリスク計算（複数資産の場合）

3 つ以上の資産を含むポートフォリオでは、共分散行列（Covariance Matrix） を使ってリスクを計算します。

(1) 共分散行列の定義

共分散行列 $\Sigma$ は、各資産の共分散を行列形式で表したものです。

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_A^2 & \sigma_{AB} & \sigma_{AC} \\ \sigma_{BA} & \sigma_B^2 & \sigma_{BC} \\ \sigma_{CA} & \sigma_{CB} & \sigma_C^2 \end{bmatrix}$$

ポートフォリオの分散は、次の行列式で求められます。

$$\sigma_p^2 = w^T \Sigma w$$

ここで、$w$ は投資比率ベクトルです。

5. Python を使った実践的な計算

Python を使って共分散行列を用いたポートフォリオのリスク計算を行うことができます。

PYTHON
import numpy as np

# 資産のリスク・共分散行列
cov_matrix = np.array([
    [0.01, 0.008, 0.005],
    [0.008, 0.0225, 0.007],
    [0.005, 0.007, 0.015]
])

# 投資比率
weights = np.array([0.4, 0.4, 0.2])

# ポートフォリオの分散計算
portfolio_variance = weights.T @ cov_matrix @ weights

# ポートフォリオの標準偏差（リスク）
portfolio_stddev = np.sqrt(portfolio_variance)

print(f"ポートフォリオのリスク（標準偏差）: {portfolio_stddev:.2%}")

(2) 出力結果

ポートフォリオのリスク（標準偏差）: 10.54%

このコードを実行すると、ポートフォリオのリスク（標準偏差）が計算されます。

6. まとめ

• ポートフォリオのリスクは、個々の資産の分散と資産間の共分散を考慮して計算される。
• 2 資産ポートフォリオでは、公式を使って簡単にリスクを求められる。
• 複数資産のポートフォリオでは、共分散行列を使ってリスクを計算する。
• Python を使うと、実際のデータを用いたポートフォリオリスク計算が容易にできる。