1. はじめに

前回の記事では、ブラック・ショールズ方程式の導出を詳しく解説しました。
今回は、その方程式の解を求め、ヨーロピアン・コールオプションとプットオプションの価格公式 を導出していきます。

ブラック・ショールズ方程式は、数学的には偏微分方程式（PDE）の一種です。
この方程式を解くことで、オプション価格の解析的な公式を得ることができます。

本記事では、数式の展開をできるだけ高校数学レベルでも理解できるように、ステップごとに丁寧に解説していきます。

2. ブラック・ショールズ方程式の一般形

前回導出したブラック・ショールズ方程式を再掲します：

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0$$

ここで、

• $V(S, t)$：オプションの価格（$S$ は株価, $t$ は時間）
• $r$：リスクフリー金利
• $\sigma$：ボラティリティ（株価の変動率）

この方程式を解くには、いくつかの変数変換を行い、標準的な微分方程式の形に変形します。

3. 変数変換と方程式の簡単化

1. 変数変換：時間と株価のスケール調整

新しい変数を導入します。

$$\tau = T - t$$

ここで、$T$ はオプションの満期時刻です。
この変数変換により、$\tau$ は「満期までの残り時間」を表します。

また、以下のように変数 $x$ を定義します。

$$x = \ln S$$

この変数変換を行うと、株価 $S$ に関する微分が次のように書き換えられます。

$$\frac{\partial V}{\partial S} = \frac{1}{S} \frac{\partial V}{\partial x}, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = \frac{1}{S^2} \left( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} - \frac{\partial V}{\partial x} \right)$$

これをブラック・ショールズ方程式に代入すると、$V(x, \tau)$ についての新しい微分方程式が得られます。

4. ブラック・ショールズ公式の導出

この方程式を解析的に解くと、コールオプションの価格 $C(S, t)$ は次の式で表されます。

$$C = S N(d_1) - K e^{-r(T - t)} N(d_2)$$

プットオプションの価格 $P(S, t)$ は以下の式になります。

$$P = K e^{-r(T - t)} N(-d_2) - S N(-d_1)$$

ここで、

$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{1}{2} \sigma^2) (T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}$$ $$d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \frac{1}{2} \sigma^2) (T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}$$

また、$N(d)$ は標準正規分布の累積分布関数（CDF） を表します。

5. 数式の直感的な意味

ブラック・ショールズ公式の各要素が持つ意味を考えてみましょう。

1. $d_1$ の意味
   • 株価がどの程度「行使価格よりも高くなる」確率を表す指標。
   • $d_1$ が大きいほど、オプションを行使する可能性が高い。
2. $d_2$ の意味
   • 将来の株価が行使価格 $K$ を超える確率を現在の視点から評価したもの。
   • $d_1$ よりもボラティリティ分だけ小さい値になる。
3. $N(d_1)$ と $N(d_2)$
   • それぞれ「コールオプションが価値を持つ確率」に関連している。
   • $N(d_1)$ はオプションのデルタ（ヘッジ比率）とも関係。
4. 割引因子 $e^{-r(T - t)}$ の役割
   • 将来の確定金額を現在価値に割り引く役割を持つ。
   • 無リスク金利の影響を考慮するために必要。

6. まとめと次回予告

本記事では、

• ブラック・ショールズ方程式を解くための変数変換
• コールオプション・プットオプションの価格公式の導出
• 数式の直感的な意味

について詳しく解説しました。

次回は、

• ブラック・ショールズモデルの応用とギリシャ指標（デルタ、ガンマなど）
• ブラック・ショールズモデルの限界と改良モデル

について詳しく説明します。