はじめに

データサイエンスを学んでいると、指数関数や対数関数の中でしばしば登場する「ネイピア数 ($e$)」。
数学や統計、機械学習の分野では極めて重要な定数です。

本記事では、ネイピア数の数学的な定義に焦点を当てます。

ネイピア数の数学的な定義

ネイピア数 $e$ は、以下の極限を用いて定義されます。

$$e = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

この式は「無限に細かく分割した複利計算」の極限として登場し、指数関数の基盤となる概念です。

定義の直感的な説明

この式の意味を直感的に理解するために、具体的な数値を使って計算してみましょう。

Python を使って、上記の極限を数値的に確かめてみます。

PYTHON
import numpy as np

def approximate_e(n):
    return (1 + 1/n) ** n

values = [10, 100, 1000, 10000, 100000]
for n in values:
    print(f"n={n}: {approximate_e(n)}")

このコードを実行すると、 $n$ を大きくするにつれて $e$ の値に近づいていく様子が確認できます。

実行結果

n=10: 2.5937424601
n=100: 2.7048138294
n=1000: 2.7169239322
n=10000: 2.7181459268
n=100000: 2.7182682372

微分を用いた定義

もう一つの重要な定義として、指数関数の微分を利用する方法があります。

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

これは「ある関数の微分が常にその関数自身に等しい」という性質を持つ関数が $e^x$ であることを示しています。
この性質は、指数関数が多くの自然現象を表す際に重要な役割を果たします。

SymPy を用いた微分の計算

Python には、数学的な計算をシンボリックに扱うためのライブラリ「SymPy」があります。
SymPy を使うと、手計算では大変な微分や積分、極限の計算をプログラムで簡単に求めることができます。

SymPy では、数値ではなく記号として数式を扱うことが可能です。
そのため、数式の解析や変形、簡単な証明などにも役立ちます。

以下のコードでは、SymPy を使って $e^x$ の微分を計算しています。

PYTHON
import sympy as sp

# 変数 x をシンボルとして定義
x = sp.Symbol('x')

# 指数関数 e^x を定義
f = sp.exp(x)

# f(x) を微分
df = sp.diff(f, x)

# 結果を出力
print(f"関数 f(x) = e^x の微分: {df}")

実行結果

関数 f(x) = e^x の微分: exp(x)

このコードでは、

1. sp.Symbol('x') を用いて変数 $x$ を記号として定義。
2. sp.exp(x) で指数関数 $e^x$ を作成。
3. sp.diff(f, x) で $f(x)$ を $x$ に関して微分。
4. 結果を表示。

SymPy の最大の利点は、シンボリックに計算できることです。
これにより、単なる数値計算ではなく、一般的な数学的操作をプログラムで実行できます。

まとめ

ネイピア数 $e$ は、数学の基礎を支える極めて重要な定数であり、

• 極限を用いた定義
• 指数関数の微分による定義

の 2 つの視点から理解できます。

また、Python を用いることで、数値計算だけでなく、SymPy を活用した記号計算によって理論的な理解を深めることができます。

これらの概念をしっかり押さえておくことで、指数関数や対数関数、機械学習など、さまざまな分野での応用につながります。