はじめに

ベクトルの積には ドット積（内積） と クロス積（外積） の 2 種類があります。

• ドット積はスカラー値（数値）を出力し、ベクトルの長さや角度を求めるのに適している。
• クロス積は新しいベクトルを出力し、ベクトルの方向や法線を求めるのに適している。

本記事では、

• ドット積とクロス積の違い
• 計算方法と Python による実装
• 用途と活用事例
  を詳しく解説します。

1. ドット積（内積）とは？

ドット積は 2 つのベクトルの対応する成分を掛けて足し合わせる演算で、結果はスカラー値（数値）になります。

定義

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta$$

または成分表示で表すと、

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Python による実装

PYTHON
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

# ドット積
dot_product = np.dot(a, b)
print("ドット積:", dot_product)

実行結果

ドット積: 32

計算の詳細:

$$1\times4 + 2\times5 + 3\times6 = 4 + 10 + 18 = 32$$

2. クロス積（外積）とは？

クロス積は 2 つのベクトルの外積を求める演算で、結果は新しいベクトルになります。

定義

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix}$$

Python による実装

PYTHON
# クロス積
cross_product = np.cross(a, b)
print("クロス積:", cross_product)

実行結果

クロス積: [-3  6 -3]

計算の詳細:

$$\begin{bmatrix} 2\times6 - 3\times5 \\ 3\times4 - 1\times6 \\ 1\times5 - 2\times4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 15 \\ 12 - 6 \\ 5 - 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$$

3. ドット積とクロス積の比較

4. どちらを使うべきか？

✅ ベクトルの方向を求めたい場合 → クロス積
✅ ベクトルの関係（類似度、角度）を求めたい場合 → ドット積

特に、機械学習や統計学では ドット積 が、3D グラフィックスや物理学では クロス積 が多く使われます。

5. まとめ

• ✅ ドット積はスカラー（数値）、クロス積はベクトル（方向）を出力
• ✅ ドット積は長さや角度を求めるのに適し、クロス積は法線や回転計算に適している
• ✅ Python では np.dot() でドット積、np.cross() でクロス積を計算可能

ドット積とクロス積の違いを理解することで、数学やプログラミングの応用がより深まります。