はじめに

逆行列（Inverse Matrix）は、線形代数における重要な概念の一つです。
逆行列は、行列の「逆数」と考えることができ、行列を用いた方程式の解法や、データサイエンス、コンピュータグラフィックスなどの応用において広く使われます。

本記事では、逆行列の基本概念、数学的な定義、具体例、計算方法を解説し、Python を用いた計算例を紹介します。

1. 逆行列とは？

逆行列とは、ある行列 $A$ に対して、以下の関係を満たす行列 $A^{-1}$ のことを指します。

$$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$

ここで、$I$ は単位行列（Identity Matrix）です。

• 逆行列が存在する行列を 正則行列（Regular Matrix） と呼びます。
• 逆行列が存在しない行列は 特異行列（Singular Matrix） です。

逆行列は、正方行列（$n \times n$）のみに定義される ため、非正方行列には一般的な逆行列は存在しません。

2. 逆行列の求め方

逆行列を求める方法はいくつかあります。

2×2 行列の逆行列

2×2 の行列 $A$ の逆行列は、以下の公式で求められます。

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

その逆行列は、行列式 $\det(A)$ を用いて次のように計算できます。

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

ただし、行列式が 0 の場合、逆行列は存在しない ことに注意が必要です。

3×3 以上の行列の逆行列

3×3 以上の行列の逆行列は、以下の方法で求めることができます。

1. 行列式（Determinant）が 0 でないことを確認
2. 余因子行列（Cofactor Matrix）を求める
3. 余因子行列の転置（随伴行列 Adjugate）を求める
4. 行列式の逆数を掛ける

この方法を用いることで、一般的な正方行列の逆行列を求めることができます。

3. Python を用いた逆行列の計算

Python の numpy ライブラリを用いると、逆行列を簡単に求めることができます。

2×2 行列の逆行列

PYTHON
import numpy as np

# 2×2 行列
A = np.array([[3, 2], [1, 4]])

# 逆行列の計算
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("逆行列:")
print(A_inv)

3×3 行列の逆行列

PYTHON
# 3×3 行列
B = np.array([[2, -1, 3], [1, 0, -2], [4, 1, 1]])

# 逆行列の計算
B_inv = np.linalg.inv(B)
print("逆行列:")
print(B_inv)

特異行列の確認（逆行列が存在しない場合）

PYTHON
# 行列式が 0 の場合（特異行列）
C = np.array([[1, 2], [2, 4]])
det_C = np.linalg.det(C)

if np.isclose(det_C, 0):
    print("この行列は特異行列であり、逆行列を持ちません。")
else:
    C_inv = np.linalg.inv(C)
    print("逆行列:")
    print(C_inv)

計算結果

2×2 行列の逆行列

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}$$

3×3 行列の逆行列

$$B^{-1} = \begin{bmatrix} 0.125 & 0.25 & 0.125 \\ -0.5625 & -0.625 & 0.4375 \\ 0.0625 & -0.375 & 0.0625 \end{bmatrix}$$

特異行列（逆行列なし）

行列 $C$ は 行列式が 0 のため、逆行列は存在しません。

4. 逆行列の性質

逆行列には、以下のような重要な性質があります。

1. 行列の積に関する逆行列の性質
   $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
2. 単位行列の逆行列は単位行列
   $I^{-1} = I$
3. 転置行列の逆行列
   $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
4. 逆行列の逆行列は元の行列
   $(A^{-1})^{-1} = A$

5. まとめ

• ✅ 逆行列とは、行列の積が単位行列となる行列のこと。
• ✅ 逆行列は正方行列にのみ定義され、行列式が 0 の場合は存在しない。
• ✅ 2×2 の逆行列は公式を用いて簡単に求められる。
• ✅ Python を用いると、大規模な行列の逆行列を効率的に計算できる。
• ✅ 逆行列の性質を理解することで、線形代数の応用範囲が広がる。

逆行列は、データ解析、機械学習、コンピュータグラフィックスなど、多くの分野で利用されています。