1. はじめに

これまでの記事では、三角関数の基本的な定義や公式について学んできました。
今回は、三角関数がどのように実際の世界で使われているのか、物理や工学の観点から解説します。

三角関数は、波の運動、振動、電気回路、建築、信号処理など、さまざまな分野で重要な役割を果たしています。
本記事では、その具体的な応用例を Python のコードとともに紹介します。

2. 振動と波動：サイン波とコサイン波

(1) サイン波の基本式

サイン波は、振動や波の運動を記述するのに使われる最も基本的な波形です。
一般的なサイン波の式は次のように表されます。

$$y = A \sin(\omega t + \phi)$$

• $A$：振幅（波の高さ）
• $\omega$：角周波数（ $\omega = 2\pi f$ ）
• $t$：時間
• $\phi$：位相（波の開始位置）

Python を使ってサイン波をプロットしてみましょう。

PYTHON
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
A = 1       # 振幅
f = 1       # 周波数（Hz）
phi = 0     # 位相
T = 2       # 時間の範囲（秒）

# 時間軸を作成
t = np.linspace(0, T, 1000)

# サイン波の計算
y = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi)

# グラフ描画
plt.plot(t, y, label='Sine Wave')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=1)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Sine Wave')
plt.legend()
plt.show()

このグラフを見ると、時間とともに振動するサイン波の形が確認できます。

3. 信号処理：フーリエ変換

三角関数は信号処理の分野でも広く活用されています。
特にフーリエ変換は、複雑な波形をサイン波とコサイン波の組み合わせで表現する ために使われます。

Python を使って、簡単なフーリエ変換を実行してみましょう。

PYTHON
mport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft, fftfreq

# サンプリング設定（400Hz に設定して正しいピークを取得）
N = 1000  # サンプル数
T = 1.0 / 400.0  # サンプリング間隔（400 Hz）

# 時間軸
t = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)

# フーリエ変換
yf_single = fft(signal_single)
xf = fftfreq(N, T)[:N//2]

# 50Hz + 80Hz のサイン波
signal_mixed = np.sin(2.0*np.pi*50.0*t) + 0.5*np.sin(2.0*np.pi*80.0*t)

# フーリエ変換
yf_mixed = fft(signal_mixed)

# 50Hz と 80Hz のサイン波のフーリエ変換をプロット
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf_mixed[:N//2]), color='red')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Fourier Transform of a Mixed Signal (50Hz & 80Hz)')
plt.show()

このコードでは、50Hz と 80Hz の 2 つの周波数成分を持つ信号をフーリエ変換し、周波数スペクトルを表示しています。

4. 工学への応用：電気回路（交流の位相）

電気回路では、交流電流（AC）の振る舞いを記述するために三角関数が使われます。

交流の基本式は次のようになります。

$$V(t) = V_0 \cos(\omega t + \phi)$$

この式を使って、2 つの異なる位相を持つ交流波形をプロットしてみましょう。

PYTHON
# パラメータ設定
V0 = 5  # 最大電圧 (V)
phi1 = 0  # 波1の位相
phi2 = np.pi / 4  # 波2の位相

# 交流電圧の計算
V1 = V0 * np.cos(2 * np.pi * f * t + phi1)
V2 = V0 * np.cos(2 * np.pi * f * t + phi2)

# グラフ描画
plt.plot(t, V1, label='Voltage 1 (φ=0)')
plt.plot(t, V2, label='Voltage 2 (φ=π/4)', linestyle='dashed')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Voltage (V)')
plt.title('AC Voltage with Phase Shift')
plt.legend()
plt.show()

このグラフを見ると、位相がずれた 2 つの交流電圧の関係が視覚的に確認できます。

5. まとめ

本記事では、三角関数の応用について学びました。

• サイン波とコサイン波 ：振動や波の運動を記述
• 信号処理（フーリエ変換） ：複雑な信号を三角関数の組み合わせで表現
• 電気回路（交流電圧） ：位相の概念を活用した電圧の表現
• Python を使って、これらの現象を可視化