はじめに

今回は「級数（きゅうすう）」と「収束」について学びます。
無限に続く数列の和（無限和）をどう扱うか？
その疑問に答えるのが級数です。

級数とは？

級数とは、数列の各項をすべて足し合わせた和のことです。

有限の和：
$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$

無限の和（無限級数）：
$a_1 + a_2 + a_3 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

この記号 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は「無限級数」を意味します。

部分和と収束

級数の収束を考えるには「部分和」に注目します。

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

これを部分和といいます。

無限級数が収束するとは、$S_n$ が $n \to \infty$ のときに一定の値 $S$ に近づくことです：

$\lim_{n \to \infty} S_n = S \Rightarrow \text{収束}$

もし一定の値に近づかなければ、発散です。

等比級数の収束

無限等比級数：$a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$

収束条件：$|r| < 1$

収束する場合、和は：
$S = \frac{a}{1 - r}$

例 1

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$

• 初項：$a = 1$
• 公比：$r = \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

この無限級数は 2 に収束します。

発散する級数の例

例 2：調和級数

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$

この級数は無限に続きますが、部分和 $S_n$ は無限大に発散します。

$\Rightarrow \text{発散する級数}$

このように、項が小さくなっても和が収束するとは限りません。

収束の目安：項の極限

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するなら、$a_n \to 0$ である必要があります。

$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{必ず発散}$

ただし、$a_n \to 0$ でも収束するとは限らない（調和級数の例など）。

級数の応用

• 金融：無限期の利息・分割払いの計算
• 物理学：力学・波動の解析（フーリエ級数など）
• コンピュータ：数値解析・誤差の見積もり

まとめ

• 級数は数列の和、無限和が「無限級数」
• 収束の判定には「部分和」と「項の極限」を利用
• 無限等比級数は $|r| < 1$ で収束し $S = \frac{a}{1-r}$
• 項がゼロに近づいても、和が収束するとは限らない