はじめに

離散的な事象とは異なり、連続的な値を取る確率変数では、確率密度関数（PDF: Probability Density Function）が用いられます。
本記事では、確率密度関数の意味や使い方を、わかりやすく紹介いたします。

1. 離散と連続の違い

• 離散型確率変数：数えられる値（例：サイコロの目）
• 連続型確率変数：数えきれない値（例：身長、温度）

連続型の場合、ある特定の値を取る確率は 0 になります。
代わりに、ある範囲（区間）での確率を考えます。

2. 確率密度関数（PDF）とは

確率密度関数とは、連続型確率変数において「ある値付近での確率の濃さ（密度）」を表す関数です。
確率密度そのものは確率ではなく、面積を使って確率を表します。

• $f(x)$：確率密度関数
• $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$：区間[a, b]での確率

特徴

• $f(x) \geq 0$：常に 0 以上
• 全体の確率は 1：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$

3. 実例：正規分布の確率密度関数

正規分布の確率密度関数は次のように表されます：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

この関数の下の面積が、指定区間での確率を示します。

例

$60 \leq X \leq 70$の確率

• この区間の確率は、$f(x)$のグラフで 60 から 70 の間の面積として求められます。

4. 確率密度関数を使う意義

• 連続データの分布を正確に表現
• 累積分布関数（CDF）を通じて、区間の確率を簡単に計算可能
• 実データのモデル化や推定に役立つ

5. 累積分布関数（CDF）との関係

確率密度関数 $f(x)$ を積分すると、累積分布関数 $F(x)$ になります：

$$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$$

• $F(x)$：X が x 以下である確率
• CDF は常に 0 から 1 の範囲

6. まとめ

確率密度関数の理解は、連続データの扱い方や統計的推測の基盤となります。
特に、正規分布などの解析では欠かせない概念です。